ESTADÍSTICA Y COMBINATORIA
PARTES DE UN CONJUNTO
Dentro
de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los
conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras
latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.
Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos.
Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe:
x Î A.
que
se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si
por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:
x Ï A.
Un
conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus
elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:
A
= { 2, 3, 5}
Esto
se conoce como expresión por extensión del conjunto.
Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que permita
seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad.
Por ejemplo, dentro del conjunto de los números podemos seleccionar el conjunto
B de los números pares, en este caso se emplea una letra, por lo general x,
para representar un elemento cualquiera y se escribe:
B
= { x / x es par}
lo
que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es par".
Esta forma de definir un conjunto de llama por comprensión.
3.1.1 Definiciones.
3.1.1.1
Igualdad de Conjuntos. El conjunto A
es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada
elemento de A es también elemento de B y recíprocamente. Luego, podemos
escribir:
(A
= B) Û (" x)(x Î A Û x Î B).
3.1.1.2
Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A
es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto
de B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se
denota como: A Ì B.
Simbólicamente esto se puede expresar así:
A Ì B Û (" x)(x Î A Þ x Î B)
Esta
relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es
una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B, escribimos: A Ë B.
Con esta definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de
igualdad de dos conjuntos, así:
(A
= B) Û (A Ì B) Ù (B Ì A)
COMBINACIONES
Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que,
La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones,
simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.
nPr = nCr r!
Y si deseamos r = n entonces;
nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! =
PERMUTACIÓN
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.
Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.
b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).
Solución:
a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).
¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?
Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.
b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:
CAMBIOS
PRESIDENTE:
|
Daniel
|
Arturo
|
Rafael
|
Daniel
|
SECRETARIO:
|
Arturo
|
Daniel
|
Daniel
|
Rafael
|
TESORERO:
|
Rafael
|
Rafael
|
Arturo
|
Arturo
|
Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación?
Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.
